2019-2020学年北师大版选修1-1 曲线的轨迹方程的求法 教案

重难点归纳

　　求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法

　　(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程

　　(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求

　　(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程

　　(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程

　　求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别"轨迹"与"轨迹方程"是两个不同的概念

典型题例示范讲解

　　例1如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

　　命题意图 本题主要考查利用"相关点代入法"求曲线的轨迹方程

　　知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程

　　错解分析 欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题

　　技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程

　　解 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|

　　又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

　　又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

　　因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动

　　设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,

　　代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得 x2+y2=56

　　例2设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

　　命题意图 本题主要考查"参数法"求曲线的轨迹方程

　　知识依托 直线与抛物线的位置关系

　　错解分析 当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对"x1=x2"的讨论

　　技巧与方法 将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系

　　解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)

　　直线AB的方程为x=my+a由OM⊥AB，得m=－

由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0