高手支招3综合探究

复平面上的轨迹问题.

求复平面上的轨迹问题通常有两种途径:

一是设z=x+yi(x,y∈R）,依据条件转化为关于x与y的方程,从而得出所求轨迹.

在平时,我们常见的用复数表示的基本轨迹方程如下(设动点Z、定点Z1、Z2所对应的复数分别为z、z1、z2,r、r1、r2、a>0,Z0为定点,对应复数为z0).

(1)复平面上两点Z1、Z2的距离公式:d=|z1-z2|;

(2)方程|z-z0|=r表示:是以点Z0为圆心,以r为半径的圆;

(3)式子|z-z0|

(4)式子r1<|z-z0|

(5)方程|z-z1|+|z-z2|=2a表示:①当Z1Z2<2a时,是以定点Z1、Z2为焦点,以2a为长轴长的椭圆;②当Z1Z2=2a时,是线段Z1Z2;(3)当Z1Z2>2a时,点Z无轨迹.

(6)方程|z-z1|-|z-z2|=±2a表示:以定点Z1、Z2为焦点,以2a为实轴长的双曲线;

(7)方程|z-z1|=|z-z2|表示:线段Z1Z2的中垂线.

二是结合"基本轨迹方程",充分考虑复数的整体性,运用条件及有关性质(如模、共轭复数的性质等),探求轨迹上的点所对应的复数z具有的特征及满足的方程(解析几何代入法是求轨迹的常用思想方法).

高手支招4典例精析

【例1】 已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1,且z1＋z2=i,求z1、z2的值.

思路分析:根据两复数的关系z1＋z2=i来设复数z1、z2可以减少未知数的个数,从而使式子简化便于求解.

解:由z1＋z2=i是纯虚数,且|z1|=|z2|=1,可设z1=a＋bi,z2=-a＋bi(a,b∈R).

且a2＋b2＝1,于是由(a＋bi)＋(-a＋bi)=i.可得b=,a=±.

∴z1=＋i,z2=＋i,或z1=＋i,z2=＋i.

【例2】 解方程3+z=5+4i.

思路分析:设z=x+yi(x,y∈R),由复数相等将问题转化为实数方程问题,或由减法定义,转化为求两数的差.

解:设z=x+yi(x,y∈R),则将方程变形为3+x+yi=5+4i,则有:∴z=2+4i.

【例3】 复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点分别是一个正方形的三个顶点A、B、C,如右图.求这个正方形ABCD的第四个顶点D对应的复数.

思路分析:利用=或者,求点D对应的复数.也可利用正方形的性质,对角