导数的概念

[学习目标]　1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.

知识点一　函数的平均变化率

1.平均变化率的概念

设函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个"增量"，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1).于是，平均变化率可以表示为.

2.求平均变化率

求函数y＝f(x)在[x1，x2]上平均变化率的步骤如下：

(1)求自变量的增量Δx＝x2－x1；

(2)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；

(3)求平均变化率＝

＝.

思考　(1)如何正确理解Δx，Δy?

(2)平均变化率的几何意义是什么？

答案　(1)Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘，其值可取正值、负值，但Δx≠0；Δy也是一个整体符号，若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)，而不是Δy＝f(x2)－f(x1)，Δy可为正数、负数，亦可取零.

(2)如图所示：

y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的"数量化"