课 题 　　　　　　　　　　　　归纳推理与类比推理 课时安排 本节课时 学期总课次 主 备 人 审阅 数学组 授课人 授课时间 授课班级 教 学 目 标

归纳推理 类比推理

重难点 归纳推理和类比推理 教法设计 　　　　　　启发式教学 　考点 　　归纳推理 类比推理 　题型 选择题和解答题 教具准备 教 学 过 程 公共教学 [知识梳理]

1．归纳推理

根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，

结论：任意d∈M，d也具有某属性．

2．类比推理

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．

类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；

B：具有属性a′，b′，c′；

结论：B具有属性d′.

(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)

3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．

4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．

练习1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，...，则a10＋b10等于(　　)

A．28　　　　B．76　　　　C．123　　　　D．199

解析：选C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.

类型一　归纳推理

题点1　与数字有关的推理

[例1]　(2015·高考陕西卷)观察下列等式：

1－＝，

1－＋－＝＋，

1－＋－＋－＝＋＋，

......，

据此规律，第n个等式可为________________________．

答案　1－＋－＋...＋－＝＋＋...＋

题点2　与式子有关的推理

[例2]　古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，...，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数　　　　N(n,3)＝n2＋n，

正方形数 N(n,4)＝n2，

五边形数 N(n,5)＝n2－n，

六边形数 N(n,6)＝2n2－n

................................................

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.

解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，

∴N(10,24)＝×100＋×10

＝1 100－100＝1 000.

答案　1 000

题点3　与图形有关的推理

[例3]　(2017·山东青岛模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，...，依此规律得到n级分形图．

(1)n级分形图中共有________条线段；

(2)n级分形图中所有线段长度之和为________．

答案　(1)3×2n－3　(2)9－9×n

练习2．(1)(2017·上海模拟)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，...，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(　　)

A．6　　　　　　　　　 B．7

C．8 D．9

(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，...，类比得x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝________.

解析：第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.

答案：nn

(3)下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．

解析：由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋...＋n.

∴总个数为.

答案：

类型二　类比推理

[例4]　(1)(2017·山东菏泽模拟)已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N)，则可以得到bm＋n＝________.

解析　设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公比为q，则等差数列中an＝a1＋(n－1)d1，等比数列中bn＝b1qn－1.

∵am＋n＝，∴bm＋n＝.

答案　

(2)(2017·山东临沂质检)如图所示，若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比＝·.如图，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论为________．

解析　本题是把二维的面积关系，推广到三维的体积关系：＝··.

答案　＝··

2．在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.

把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为________．

解析：设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.

答案：＋＋＋＝1

类型三　演绎推理

[例5]　(2017·福建三明调研)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：

(1)数列是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an.

练习4．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．