导数的几何意义
学习目标:1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1.函数的平均变化率
(1)定义式:Δx(Δy)=x2-x1(f(x2).
(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
(3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
(4)几何意义:已知P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是函数y=f(x)的图象上两点,则平均变化率Δx(Δy)=x2-x1(f(x2)表示割线P1P2的斜率.
思考:Δx,Δy的取值一定是正数吗?
[提示] Δx≠0,Δy∈P.
2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
(1)定义式:limΔx→0 Δx(Δy)=limΔx→0 Δx(f(x0+Δx).
(2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值.
(3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.
3.函数f(x)在x=x0处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=limΔx→0 Δx(Δy)=limΔx→0Δx(f(x0+Δx).
[基础自测]
1.思考辨析
(1)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可负也可以为零. ( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.
( )
(3)函数f(x)=x在x=0处的瞬时变化率为0. ( )