3．1.2　瞬时变化率--导数

曲线上一点处的切线 　　

　　你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到"六龙过万壑"的雄奇，感受到"会当凌绝顶，一览众山小"的豪迈，当爬到"十八盘"时，你感觉怎样？

　　问题1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？

　　提示：能．

　　问题2：从数学的角度如何量化曲线的"陡峭"程度呢？

　　提示：用曲线的切线的斜率表示．

　　割线逼近切线的方法

　　设曲线C上有一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；当点Q沿曲线C向点P运动时，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．

瞬时速度，瞬时加速度 　　

　　问题1：探究在y＝gt2中，怎样求在t＝3这一时刻的速度？

　　提示：物体在t＝3临近时间间隔内的平均速度可以看做物体在t＝3这一时刻速度的近似值．取一小段时间[3,3＋Δt]，在这段时间Δt内，物体位置的改变量

　　Δs＝g(3＋Δt)2－g·32＝(6＋Δt)Δt，

　　相应的平均速度＝＝＝(6＋Δt)．

　　问题2：下表是Δt选取不同数值时相应的平均速度.

Δt 2 1 0.5 0.25 0.1 0.05 0.02 0.01 4g 3.5g 3.25g 3.125g 3.05g 3.025g 3.01g 3.005g