习题课　数学归纳法

明目标、知重点

1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．

2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．

1．归纳法

归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．

2．数学归纳法

(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题；

(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；

(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．

题型一　用数学归纳法证明不等式

思考　用数学归纳法证明不等式的关键是什么？

答　用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n＝k到n＝k＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n＝k＋1时的结论．

例1　已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N*，不等式·*...·>都成立．

证明　由bn＝2n，得＝，

所以·*...·＝··*...·.

下面用数学归纳法证明不等式·*...·＝··*...·>成立．

(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时不等式成立，

即·*...·＝··*...·>成立．