2019-2020学年人教B版选修1-1 导数的应用(一) 学案

典例精析

题型一　求函数f(x)的单调区间

【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.

【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞).

f′(x)＝2x－a－＝，

①若a≤0，则≤1，f′(x)＝＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，＋∞).

②若a＞0，则＞1，

故当x∈(1，]时，f′(x)＝≤0；

当x∈[，＋∞)时，f′(x)＝≥0，

所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，]，f(x)的增区间为[，＋∞).

【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)符号，必须讨论实数与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.

【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.

【解析】因为f′(x)＝2x＋－a，f(x)在(0,1)上是增函数，

所以2x＋－a≥0在(0,1)上恒成立，

即a≤2x＋恒成立.

又2x＋≥2(当且仅当x＝时，取等号).

所以a≤2，

故a的取值范围为(－∞，2].

【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时⇒f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时⇒f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.

题型二　求函数的极值

【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.

(1)试求常数a，b，c的值；