第2课时　均值不等式的应用

学习目标　1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.

知识点一　均值不等式及变形

思考　使用均值不等式证明：≤(a>0，b>0)，并说明什么时候等号成立.

答案　∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，

∴≤，

即≤(a>0，b>0)，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立.

梳理　以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.

当a>0，b>0时，有≤≤≤；

当且仅当a＝b时，以上三个等号同时成立.

知识点二　用均值不等式求最值

思考　因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.

以上说法对吗？为什么？

答案　错.显然(x2＋1)min＝1.

x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.仅说明抛物线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点.

使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值，可能出错.

梳理　均值不等式求最值的条件：

(1)x，y必须是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值，即"和定积大，积定和小".

(3)等号成立的条件是否满足.