2018-2019学年北师大版选修4-5 一般形式的柯西不等式 学案

学习目标　1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．

知识点一　三维形式的柯西不等式

思考1　类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥

|α·β|推导三维形式的柯西不等式？

答案　设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，

则|α|＝，|β|＝.

∵|α||β|≥|α·β|，

∴·≥|a1b1＋a2b2＋a3b3|，

∴(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.

思考2　三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？

答案　当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．

梳理　三维形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时，等号成立．

知识点二　一般形式的柯西不等式

1．一般形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，...，an，b1，b2，b3，...，bn是两组实数，则(a＋a＋...＋a)(b＋b＋...＋b)≥(a1b1＋a2b2＋...＋anbn)2.

2．柯西不等式等号成立的条件

当且仅当bi＝0(i＝1,2，...，n)或存在一个实数k，使得

ai＝kbi(i＝1,2，...，n)时等号成立．当向量(a1，a2，...，an)与向量(b1，b2，...，bn)共线时，等号成立.