1.1.3 基本不等式（1）

课堂导学

三点剖析

一、利用基本不等式证明不等式

【例1】 a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c),当且仅当a=b=c时取等号.

思路分析:由于a4+b4≥2a2b2,说明了运用基本不等式,可以找到左式与中间式的关系.同样地,a2b2+b2c2≥2ab2c,而ab2c就是右式中的一项.

证明：∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,

∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),

即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

又∵a2b2+b2c2≥2ab2c,

b2c2+c2a2≥2bc2a,

c2a2+a2b2≥2a2bc,

∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+bc2a+a2bc),

即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

以上各式当且仅当a=b=c时取等号.

温馨提示

在证明不等式的一些题目时,若有和大于或等于积的形式,可考虑用均值不等式 证明,有时需要多次使用基本不等式才能解决问题.

本题中,字母a,b,c是可轮换的(即a→b,b→c,c→a式子不变),这称为轮换对称式,轮换对称式的证明都可用此技巧.

各个击破

类题演练1

已知a,b,c∈(0,+∞),求证:≥a+b+c.

证明:∵a,b,c∈(0,+∞),

∴=2a.①

同理,=2b,②

=2c,③

∴()+(a+b+c)≥2(a+b+c).

∴≥a+b+c.

变式提升1