整合提升

知识

典例精讲

数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法.它可用 证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题.在高考中，用数学归纳法证明与数列、函数有关的不等式是热点问题，特别是数列中的归纳-猜想-证明是对观察、分析、归纳、论证能力有一定要求的，这也是它成为高考热点的主要原因.

【例1】设n∈N*且n≥2，求证 1+恒成立.

证明

①n=2时，左边=1+=右边，原不等式成立；

②设n= ( ≥2)时原不等式成立，

即1+.

当n= +1时，有1+

即n= +1时原不等式成立.

由①②，可知对于任何n∈N*（n≥2）原不等式成立.

【例2】设a1,a2,a3,...,an∈R且0a1+a2+...+an+1-n(n≥2,n∈N*).

证明 ①n=2时，∵（1-a1）(1-a2)>0,

∴a1a2>a1+a2+1-(1+1)成立.

②设n= (n≥2)时原不等式成立，

即a1a2...a >a1+a2+...+a +1- 成立，

则a1a2...a +a +1-1>a1+a2+...+a +a +1+1-( +1)成立.

∴要证明n= +1时原不等式成立，

即a1a2...a a +1>a1+a2+...+a +1+1-( +1)成立,

只需证明不等式