2019-2020学年北师大版选修2-2 导数与函数的单调性 教案

知 识 梳 理

1.函数的单调性与导数的关系

已知函数f(x)在某个区间内可导，

(1)若f′(x)>0，则函数f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)<0，则函数f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则函数f(x)在这个区间内是常数函数.

2.函数的极值与导数

条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图像

形如山峰

形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

[微点提醒]

1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，"f′(x)>0在(a，b)上成立"是"f(x)在(a，b)上单调递增"的充分不必要条件.

2.对于可导函数f(x)，"f′(x0)＝0"是"函数f(x)在x＝x0处有极值"的必要不充分条件.