第2课时　等比数列前n项和的性质及应用

学习目标　1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和.

知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征

思考　若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？

答案　当Sn＝2n－1时，

an＝＝n∈N*是等比数列；

当Sn＝2n＋1－1时，

an＝＝n∈N*不是等比数列.

梳理　当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.

知识点二　等比数列前n项和的性质

思考　若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？

答案　设{an}的公比为q，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0，

Sn＝a1＋a2＋...＋an，

S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋...＋a2n

＝a1qn＋a2qn＋...＋anqn＝qnSn，

S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋...＋a3n

＝an＋1qn＋an＋2qn＋...＋a2nqn

＝qn(S2n－Sn)，

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.

梳理　等比数列{an}前n项和的三个常用性质

(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列.