双曲线的简单几何性质

1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论双曲线的几何性质．

2.能运用双曲线的性质解决一些简单的问题． 重点：双曲线的几何性质．难点：双曲线性质的应用，渐近线的理解． 方 法：合作探究 一新知导学

1.在双曲线方程中，以－x、－y代替x、y方程不变，因此双曲线是以x轴、y轴为对称轴的__________图形；也是以原点为对称中心的__________图形，这个对称中心叫做__________ ________．

2．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的____，双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点是________，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的________，它的长等于__________.同时在另一条对称轴上作点B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的_________，它的长等于________，a、b分别是双曲线的__________和__________．

3.设P（x，y）是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则x ，y .

4．双曲线的半焦距c与实半轴长a的比值e叫做双曲线的_________，其取值范围是_____ ．e越大，双曲线的张口越_________．

5．双曲线－＝1(a>0，b>0)位于第一象限部分上一点P(x，y)到直线y＝x的距离d＝________________ (用x表示)，d随x的增大而__________．

这表明，随着x的增大，点P到直线y＝x的距离越来越______，称直线y＝x为双曲线－＝1的一条_________由对称性知，直线____________也是双曲线－＝1的一条__________．

6.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条__________所在直线即为双曲线的渐近线．"渐近"两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线__________接近，接近的程度是无限的

7.双曲线上两个重要的三角形

1)实轴端点、虚轴端点及__________构成一个直角三角形，边长满足c2＝a2＋b2，称为双曲线的特征三角形．

(2)实轴长与虚轴长________的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率为________，其两条渐近线互相__________．

椭圆 双曲线 焦点在x轴 焦点在y轴 焦点在x轴 焦点在y轴

图形 对称性 　　对称轴：

对称中心： 对称轴：

对称中心： 顶点

轴长 长轴长 ，短轴长 实轴长 虚轴长 离心率 e＝ ，（ ） e＝ ，（）________） 渐近线 有 条，其方程为

__________ 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系

牛刀小试

1．双曲线－＝1的顶点坐标是(　　)

A．(±5,0)　B．(±5,0)或(0，±3) C．(±4,0) D．(±4,0)或(0，±3)

2．双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为(　　)

A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x±y＝1 D．x±y＝0

3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)

　　A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1

4．(2015·石家庄期末测试)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　)

　　A． B． C． D．

5．(2015·浙江理)双曲线－y2＝1的焦距是______，渐近线方程是_________.

典型例题

　　【例一】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．

跟踪训练1 .以双曲线y2－＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是(　　)

A． (x－2)2＋y2＝4 B．x2＋(y－2)2＝2

C．(x－2)2＋y2＝2 D．x2＋(y－2)2＝4

【例二】求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)实轴长为8，离心率为；

(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)

跟踪训练2.(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的方程.

(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程.

【例三】已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．

跟踪训练3

(1)若双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为(　　)

　　 A． B． C． D．2

(2)(2015·湖南)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D．

【例四】如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中|AP|＝100m，|BP|＝150m，∠APB＝60°，怎样运土才能最省工？

跟踪训练4如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向距离B 2km处，河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km.

求：(1)河流沿岸PQ所在的曲线方程；

(2)修建这两条公路的总费用的最小值．

【例五】已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.

(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．

【例六】 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，求双曲线的离心率．

答案

牛刀小试1 A D B C 5、 2；y＝±x

　　例一 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，

　　即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，

　　因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，

　　焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，

　　实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，

　　离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x＝±x.

　　作草图如图：

跟踪训练1. D

例二 1）标准方程为－＝1或－＝1.

　　(2)由2a＝2b得a＝b，∴e＝＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．

　　∵双曲线过点P(4，－)，

　　∴16－10＝λ，即λ＝6.

　　∴双曲线方程为x2－y2＝6.

　　∴双曲线的标准方程为－＝1.

　　跟踪训练2. (1)－＝1或－＝1 (2)－＝1

例三 1＋. 跟踪训练3 A D

　　例4[解析]　设M为分界线上任一点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50m，所以M在以A、B为焦点的双曲线的右支上．易得|AB|2＝17 500m2，建立如图所示的平面直角坐标系，得分界线所在的曲线方程为－＝1(x≥25)．

　　故运土时，在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．

跟踪训练4：根据题意，曲线PQ上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.由此知河流沿岸PQ所在的曲线为双曲线靠近B点的分支．所以c＝2，a＝1，b＝，所以河流沿岸PQ所在的曲线的方程为x2－＝1(x≥1)．

　　例五(1)由

　　消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.

　　由题意知解得－

　　所以实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由(1)得x1＋x2＝－，x1x2＝－.

　　又直线l恒过点D(0，－1)，则S△OAB＝|x1－x2|＝.

　　所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，

　　即(－)2＋＝8.解得k＝0或k＝±，

　　由(1)知上述k的值符合题意，所以k＝0或k＝±.

例六　由题意得＝，∴＝，

　　∴16a2＝9(c2－a2)，∴25a2＝9c2，

　　∴e2＝，∴e＝. 课堂随笔:

后记与感悟: