2018-2019学年北师大版选修4-5 几个重要的不等式 章末复习 学案

学习目标　1.梳理本章的重点知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，并能够熟练应用.3.理解数学归纳法的基本思想，初步形成"归纳-猜想-证明"的思维模式．

1．柯西不等式

定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．

定理2：设a1，a2，...，an与b1，b2，...，bn是两组实数，则有(a＋a＋...＋a)(b＋b＋...＋b)≥(a1b1＋a2b2＋...＋anbn)2.当向量(a1，a2，...，an)与向量(b1，b2，...，bn)共线时，等号成立．即＝＝...＝时(规定ai＝0时，bi＝0)等号成立．

推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.

当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时等号成立．

2．排序不等式

定理1：设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc.

当且仅当a＝b(或c＝d)时取"＝"号．

定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组

a1≥a2≥...≥an及b1≥b2≥...≥bn，

则(顺序和)a1b1＋a2b2＋...＋anbn≥

(乱序和)≥

(逆序和)a1bn＋a2bn－1＋...＋anb1.

其中j1，j2，...，jn是1,2，...，n的任一排列方式，上式当且仅当a1＝a2＝...＝an(或b1＝b2＝...＝bn)时取"＝"号．

3．贝努利不等式

对任何实数x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥1＋nx.