1．4　生活中的优化问题举例

　　　1.了解导数在解决实际问题中的作用．　2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

　　探究点1　面积、容积最大问题

　　　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．

　　(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；

　　(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．

　　【解】　(1)因为容器的体积为立方米，所以＋πr2l＝π，解得l＝－r，

　　所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr＝－，两端两个半球的表面积之和为4πr2，

　　所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2.

　　又l＝－r>0⇒r<2，所以定义域为(0，2)．

　　(2)由(1)得y′＝－＋16πr

　　＝，

　　所以令y′>0得2

　　1．在本例条件下，求该容器表面积的最小值．

解：因为容器的体积为立方米，所以＋πr2l＝π，解得l＝－r，所以圆柱的侧面积为2πrl＝