3.3.1 利用导数判断函数的单调性

一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.

　　教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.

三、教学过程

（一）复习

　1．确定下列函数的单调区间：

　　⑴ y＝x3－9x2＋24x； ⑵ y＝x－x3．（4）f (x)＝2x3－9x2＋12x－3

　2．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的单调区间．

　3．在区间(a, b)内f'(x)＞0是f (x)在(a, b)内单调递增的 ( A )

A．充分而不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（二）举例

例1．求下列函数的单调区间

(1) f (x)＝x－lnx(x＞0)；

(2)

(3) .

（4） （b>0）

（5）判断的单调性。

分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）

例2．（1）求函数的单调减区间.

　　（2）讨论函数的单调性.

　　（3）设函数f (x) = ax - (a + 1) ln (x + 1)，其中a≥-1，求f (x)的单调区间.

（1）解：y′ = x2 - (a + a2) x + a3 = (x - a) (x - a2)，令y′＜0得(x - a) (x - a2)＜0.