函数的最值

一、基础知识：

1、函数的最大值与最小值：

（1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值

（2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值

（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点

（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。

2．"最值"与"极值"的区别和联系

右图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是

（1）"最值"是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而"极值"是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．