3.1 变化率与导数

3.1.1 变化率问题

3.1.2 导数的概念

　　学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)

　　[自 主 预 习·探 新 知]

　　1．函数的平均变化率

　　(1)定义式：Δx(Δy)＝x2－x1(f(x2).

　　(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．

　　(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

　　(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率Δx(Δy)＝x2－x1(f(x2)表示割线P1P2的斜率．

　　思考：Δx，Δy的取值一定是正数吗？

　　[提示] Δx≠0，Δy∈P.

　　2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

　　(1)定义式：limΔx→0 Δx(Δy)＝limΔx→0 Δx(f(x0＋Δx).

　　(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．

　　(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．

　　3．函数f(x)在x＝x0处的导数

　　函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 Δx(Δy)＝limΔx→0Δx(f(x0＋Δx).

[基础自测]

1．思考辨析