§3.2　空间向量在立体几何中的应用

3.2.1　直线的方向向量与直线的向量方程

学习目标　1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．

知识点一　用向量表示直线或点在直线上的位置

1．用向量表示直线或点在直线上的位置

(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有\s\up6(→(→)＝ta或\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)＋ta或\s\up6(→(→)＝(1－t)\s\up6(→(→)＋t\s\up6(→(→)(\s\up6(→(→)＝a)，

上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a称为该直线的方向向量．

2．线段AB的中点M的向量表达式\s\up6(→(→)＝(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))．

知识点二　用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行

1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2.

2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得

l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2.

3．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得

α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β.

知识点三　用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|.

2．求两直线所成的角应注意的问题

在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．