2018-2019学年北师大版选修4-5 平均值不等式求最值 学案

学习目标　1.理解用平均值不等式求最值所需条件.2.会用平均值不等式求最值.3.能用平均值不等式解决简单的实际问题．

知识点　利用平均值不等式求最值

思考1　不等式＋≥2＝2中的等号能否取到？为什么？

答案　不能取到．若等号能取到需满足＝，得x2＋2＝1，该方程无实数解，故所给不等式中的等号不能取到．

思考2　在利用三元平均值不等式求最值时要注意满足什么条件？

答案　①三个实数均为正数；②三个正数的和(或积)为定值；③三个正数可以相等．

梳理　(1)设x，y都是正数，则有

①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；

②若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.

(2)设x，y，z都是正数，则有

①若x＋y＋z＝S(和为定值)，则当x＝y＝z时，积xyz取得最大值；

②若xyz＝P(积为定值)，则当x＝y＝z时，和x＋y＋z取得最小值3.

类型一　利用平均值不等式求最值

命题角度1　二元平均值不等式的应用

例1　(1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求＋的最小值；

(2)若x＜0，求f(x)＝＋3x的最大值．

解　(1)＋＝×1＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，