椭圆及其标准方程(二)

学习目标　加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．

知识点一　椭圆标准方程的推导

思考　观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．

答案　(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.

(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．

(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为＋＝2a.①

(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)．②

(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．

梳理　(1)椭圆的标准方程的形式

焦点位置 形状、大小 焦点坐标 标准方程 焦点在x轴上 形状、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为2c F1(－c,0)，F2(c,0) 方程为＋＝1(a>b>0) 焦点在y轴上 F1(0，－c)，F2(0，c) 方程为＋＝1(a>b>0)

(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且A≠B.

知识点二　椭圆的焦点位置确定

思考1　已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？

答案　看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y