2019-2020学年北师大版选修2-1 空间角及其求法 学案

典例精析

题型一　求异面直线所成的角

【例1】(2018天津模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.

(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；

(2)求证：AF⊥平面A1ED；

(3)求二面角A1－ED－F的正弦值.

【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，，0).

易得＝(0，，1)，＝(0,2，－4)，

于是cos〈，〉＝＝－.

所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.

(2)证明：易知＝(1,2,1)， ＝(－1，－，4)，＝(－1，，0)，

于是·＝0，·＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.

(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，

不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量.

于是cos〈u，〉＝＝，从而sin〈u，〉＝.

所以二面角A1－ED－F的正弦值为.

方法二：(1)设AB＝1，可得AD＝2，AA1＝4，CF＝1，CE＝.

连接B1C，BC1，设B1C与BC1交于点M，易知A1D∥B1C.由＝＝，可知EF∥BC1，故∠BMC是异面直线EF与A1D所成的角.