1.3　中国古代数学中的算法案例

学习目标　1.理解更相减损之术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.理解割圆术中蕴含的数学原理.3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法．

知识点一　更相减损之术

更相减损之术的运算步骤

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．

第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．

知识点二　割圆术

1．割圆术的算法

S1　假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为Sn，边长为xn，边心距为hn，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即n＝6，则正六边形的面积S6＝6×；

S2　利用公式S2n＝Sn＋n··xn(1－hn)重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形...的面积．因为圆的半径为1，所以随着n的增大，S2n的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．

2．割圆术的算法思想

刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值．用刘徽自己的话概括就是"割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．"

知识点三　秦九韶算法

思考　衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度．把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？

答案　从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算．

梳理　秦九韶算法的一般步骤：

把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋...＋a1x＋a0改写成如下形式：