考点一　椭圆的定义及其标准方程

1.(2018安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0

答案　x2+y2=1

2.(2018天津,19,14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程;

(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.

解析　(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4,所以,椭圆的方程为+=1.

(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).

设B(xB,yB),由方程组消去y,

整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.

解得x=2或x=,

由题意得xB=,从而yB=.

由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),=.

由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得yH=.

因此直线MH的方程为y=-x+.

设M(xM,yM),

由方程组消去y,解得xM=.

在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即(xM-2)2+≤+,化简得xM≥1,即≥1,解得k≤-,或k≥.

所以,直线l的斜率的取值范围为∪.

3.(2018陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.

(1)求椭圆E的离心率;

(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.

解析　(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,

则原点O到该直线的距离d==,

由d=c,得a=2b=2,

解得离心率=.

(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①

依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.

易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得

(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,

x1x2=.

由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.

从而x1x2=8-2b2.

于是|AB|=|x1-x2|==.

由|AB|=,得=,解得b2=3.

故椭圆E的方程为+=1.

解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②

依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,

两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,

得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,

易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,