第2课时　用空间向量解决立体几何中的垂直问题

学习目标　1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．

知识点一　向量法判断线线垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

知识点二　向量法判断线面垂直

设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)．

知识点三　向量法判断面面垂直

思考　平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？

答案　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.

梳理　若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(1)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)

(2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．(√)

(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)

(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(√)

类型一　线线垂直问题

例1　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.

考点　向量法求解直线与直线的位置关系