2019-2020学年北师大版选修2-1 空间向量的直角坐标运算 学案

【学习目标】

　　1.理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

　　2.掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。

　　3.能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.

【要点梳理】

要点一、空间向量的基本定理

1. 空间向量的基本定理：

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc．

2．基底、基向量概念：

由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc，x、y、z∈R}，这个集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．

要点诠释:

（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；

（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；

　　（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．

要点二、空间向量的坐标表示

（1）单位正交基底

　　若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示；

（2）空间直角坐标系

　　在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。

　　通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；

（3）空间直角坐标系中的坐标

　　给定一个空间直角坐标系和向量a，其坐标向量为i，j，k，若a=a1i+a2j+a3k，则有序数组（a1，a2，a3）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=（a1，a2，a3）．

在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组（x，y，z）叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y