互动课堂

疏导引导

1.复数的加法与减法

(1)复数加减法运算法则

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i,

即两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有

z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

2.复数的乘法

(1)复数乘法的法则

复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数，即

(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.

(2)复数乘法的运算定理

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.

即对任何z1、z2、z3有z1·z2=z2·z1，(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

实数集R中正整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立,即对z1、z2、z∈C及m、n∈N*，有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=z1n·z2n.

(3)i幂的周期性

i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,n∈N*.

3.复数的除法

规定复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或.

因为(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i,

所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.

由此可得

解这个方程组，得

于是有

(a+bi)÷(c+di)=(c+di≠0)

在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di，化简后，即可得出上面的结果.

4.共轭复数

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等