典例精析

题型一　求椭圆的标准方程

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和

，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.

【解析】由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，故a＝，

由勾股定理得，()2－()2＝4c2，所以c2＝，b2＝a2－c2＝，

故所求方程为＋＝1或＋＝1.

【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；

(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.

【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：

据此，可推断椭圆C1的方程为　　　　　.

【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(－2,2)，B(－，0)，C(0，)，D(2，－2)，E(2，)，F(3，－2).

通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.

显然半焦距b＝，则不妨设椭圆的方程是＋＝1，则将点

A(－2,2)代入可得m＝12，故该椭圆的方程是＋＝1.

方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.

不妨设有两点y＝2px1，①y＝2px2，②＝，

则可知B(－，0)，C(0，)不是抛物线上的点.

而D(2，－2)，F(3，－2)正好符合.

又因为椭圆的交点在x轴上，故B(－，0)，C(0，)不可能同时出现.故选用A(－2,2)，E(2，)这两个点代入，可得椭圆的方程是＋＝1.

题型二　椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.