2018届高三数学成功在我

专题二 函数与导数

误区二 利用导数处理函数的单调性、极值等误区

一、易错提醒

导数的引入,为函数的研究与应用提供了有效的工具,把初等函数的学习提高到一个新的层次,正因如此,近年来,对应用导数研究函数性质的考查,已成为高考和各地模拟考试的热点和重点, 有些学生由于对概念的理解不够准确或受到某些知识或方法的负迁移,在由导数的几何意义求曲线的切线方程时,忽略"在某点处的切线"与"过某点处的切线"的区别；研究函数的单调性时忽略定义域的限制，忽略取等条件；处理函数的极值忽视极值存在条件，从而导致对而不会,会而不全.

二、典例精析

(一) "在某点处的切线"与"过某点处的切线"的区别

利用导数的几何意义处理曲线的切线问题,是考查导数时常见的一类小题（选择题、填空题）,在此类问题中的重点和关键是抓住"切点",充分利用"切点"的三个作用：一,切点在曲线上；二,切点在切线上；三,切点的横坐标的导数值等于切线的斜率.在此类问题中有一个易错点："在某点处的切线"与"过某点处的切线"的区别,其实质就是已知点是不是一定为切点的区别.

【例1】若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切,求a的值．

【易错分析】由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况,容易忽略点O在曲线y＝x3－3x2＋2x上这个隐含条件,进而不考虑O点为切点的情况．

(2)当O(0,0)不是切点时,设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0,y0),则y0＝x－3x＋2x0,且k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2,①

又k＝＝x－3x0＋2,②

联立①②,得x0＝(x0＝0舍去),所以k＝－,