双曲线及其标准方程

学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．

知识点一　双曲线的定义

思考　若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？

答案　如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．

梳理　(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；

(2)关于"小于|F1F2|"：①若将"小于|F1F2|"改为"等于|F1F2|"，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将"小于|F1F2|"改为"大于|F1F2|"，其余条件不变，则动点轨迹不存在；

(3)若将"绝对值"去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支；

(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．

知识点二　双曲线的标准方程

思考1　双曲线的标准方程的推导过程是什么？

答案　(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．

(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．

(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，

可得 －＝±2a.①

(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝

a2(c2－a2)．

令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．②

(5)验证：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解