课堂导学

三点剖析

一、向量共线的概念及共线的条件

1.向量共线的概念

如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或互相平行.

2.向量共线的条件--平行向量定理

平行向量定理:如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b(b≠0),则一定存在一个实数λ,使a=λb.

注意:(1)本定理由向量平行和向量数乘的定义可以直接推知.

(2)本定理深刻地揭示了平面内全体与非零向量b共线的向量的基本结构.

【例1】 判断向量a=-2e与b=2e是否共线.

思路分析：要分e=0与e≠0两种情况分析.

解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.

由于"零向量与任一向量平行"且"平行向量也是共线向量",所以,此时a与b共线.

(2)当e≠0时,则a=-2e≠0,b=2e≠0.

∴b=-a(这时满足定理中的a≠0及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b=λa成立).∴a与b共线.

综合(1)(2)可知,a与b共线.

各个击破

类题演练 1

已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线?

思路分析:根据向量共线条件列式求解.

解:设存在λ,μ使得d与c共线,

并设m(2e1-9e2)=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2),

则m=λ+μ且m=,

解得λ=-2μ,

即存在实数λ,μ,使得d=λa+μb与c共线.

变式提升 1

设两个非零向量e1,e2不是平行向量,试确定实数k的值,使ke1+e2和e1+ke2是两个平行向量.

思路分析:运用平行向量定理列式求解.

解:因为(ke1+e2)∥(e1+ke2),

所以存在唯一实数p使ke1+e2=p(e1+ke2)成立,

所以(k-p)e1=(pk-1)e2,

因为e1与e2不是平行向量,且为非零向量,所以k-p=0且pk-1=0,所以k=±1.

温馨提示

(1)向量共线的充要条件:a与b共线存在唯一λ使b=λa(a≠0).

(2)利用两个向量共线的充要条件证明多点共线,通常是采用列方程(组)的方法.

二、轴上向量的坐标及其运算

关于这部分内容要注意:

1.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.

2.设e是轴l上的一个基向量.的坐标又常用表示,这时=ABe.

3.在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则AB=x2-x1.