第 7周 月16日-- 4 月20日 第 3课时 授课人 课 型 新课 课 题 2.2.1直接证明--综合法与分析法

教学目标

（学习目标） 　　1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；

　　2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；

. ]

教材分析

教学重点

分析法和综合法的思考过程； 教学难点 分析法和综合法的思考过程、特点．

疑难预设 分析法和综合法的思考过程、特点．

模式与方法 自学指导，讲练结合 教

学

流 学 ]

程 ] 　　教 内 容 学 ] 引入复习

例题讲解 （一）、情景引入，激发兴趣。

　　【教师引入】 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

(二)、探究新知，揭示概念

探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：

　　已知a,b>0,求证

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

　　证明:因为，

　　所以。

　　因为，

　　所以。

　　因此 。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

　　探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，...... 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

　　例如：基本不等式 （a>0，b>0）的证明就用了上述方法。

　　要证

，

　　只需证

　　　　　　　　　 ，

　　只需证

　　 ，

　　只需证

由于显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。

（三）、分析归纳，抽象概括

　　用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：

　　综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

　　分析法可表示为：

　　分析法的特点是：执果索因

（四）、知识应用，深化理解

　　例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形.

分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以 A + B + C=． ②

由①② ，得 B=． ③

由a, b，c成等比数列，有 ． ④

由余弦定理及③，可得

　　　　　　　　．

再由④，得 ．

即 ，

因此 ．

从而 A=C．

由②③⑤，得

　　　　　　　　　　　　A=B=C=．

所以△ABC为等边三角形．

　　练习、求证。

　　分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。

　　证明：因为都是正数，所以为了证明

　　　　　　　　　，

　　只需明

　　　　　　　　　，

　　展开得

，

　　只需证

，

　　因为成立，所以