导数与函数的单调性（三）

一、教学目标：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法

二、教学重难点：利用导数判断函数单调性.

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：

1. 函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.2. 导数的概念及其四则运算3、定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数4、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x) 0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间.

（二）、探究新课

例1、确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.

∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.

∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.

例2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x，令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0

∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.

令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.

例3、证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.

证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.

f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0