§3.1　函数与方程

　　1．函数零点的概念

　　对于函数y＝f(x) (x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．注意以下两点：

　　(1)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

　　(2)函数零点的求法：

　　代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

　　几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

　　2．函数零点的判断

　　一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．

　　对函数零点存在性定理的理解

　　(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.

　　(2)函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．

　　(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号．

　　(4)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．

　　但要注意：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)<0.

　　3．二分法

　　所谓二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．

　　用二分法求函数零点近似值的注意点

　　(1)在第一步中要使：

　　①区间[a，b]的长度尽量小；

　　②f(a)、f(b)的值比较容易计算，且f(a)·f(b)<0.

　　(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根.

　　　　　 　题型一　判断零点所在区间

　　根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是________.

x －1 0 1 2 3