考点一　导数的概念及其几何意义

1.(2018山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)

A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3

答案　A

2.(2018课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案　D

3.(2018大纲全国,7,5分)曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)

A.2e B.e C.2 D.1

答案　C

4.(2018课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　.

答案　1-ln 2

5.(2018陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为　　　　.

答案　(1,1)

教师用书专用(6-8)

6.(2018江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是　　　　.

答案　(-ln 2,2)

7.(2018福建,17,13分)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).

(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程;

(2)求函数f(x)的极值.

解析　函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1-.

(1)当a=2时, f(x)=x-2ln x, f '(x)=1-(x>0),

因而f(1)=1, f '(1)=-1,

所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.

(2)由f '(x)=1-=,x>0知:

①当a≤0时, f '(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;

②当a>0时,由f '(x)=0,解得x=a.

又当x∈(0,a)时, f '(x)<0,则f(x)在(0,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,则f(x)在(a,+∞)上单调递增,

从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.

综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;

当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.

8.(2018北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.

(1)求L的方程;

(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.

解析　(1)设f(x)=,则f '(x)=.

所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.

(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f '(x)=.

当0

当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.

所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).

所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.

考点二　导数的运算

1.(2018江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f '(1)=　　　　.

答案　2

2.(2018北京,19,13分)已知函数f(x)=excos x-x.

(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;

(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.

解析　(1)因为f(x)=excos x-x,所以f '(x)=ex(cos x-sin x)-1, f '(0)=0.

又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1.