课题：2.3.3.5直线系问题

[学习目标]

1.直线系概念：一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。

它的方程称直线系方程，直线系方程中除含变量x 、y以外，还有可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数。

2.几种常见的直线系方程：　

　 （1）过已知点P（x0，y0）的直线系方程：y－y0＝k（x－x0）（k为参数）或x=x0(k不存在时）　　

　　（2） 斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）()　

　　（3） 与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）　　

　　（4） 与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）　

　　（5） 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：　　A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）不含l2。

　　　确定平面上一条直线，需要两个独立且相容的几何条件，如果只给定一个条件，直线的位置不能完全确定。另一方面，如果只给定一个几何条件时，二元一次方程的两个独立的系数中，只有一个被确定，那个未被确定的系数是参数。利用直线系方程求直线，可以简化计算过程，欲求适合某两个几何条件的直线的方程，可先用其中一个条件写出直线系方程，再用另一个条件来确定参数值。用直线系方程求适合某一条件的直线时，应注意不能被该方程表示的直线(例如，过定点(x1，y1)的直线系方程，不能表示直线x-x1=0)，若它符合已知条件，应收入；过两直线交点的直线系方程有两种形式。其中A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0 较简单些，但它不能包含直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0本身。而方程m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0，(m，n不同时为零的实数)，可以避免这个缺陷。

　例1：求与直线3x＋4y－7=0垂直，且在x轴上的截距为-2 的直线。

解法一：利用"垂直"写出直线系方程，再用"在x轴上截距为-2"这个条件确定参数。　　和直线3x+4y－7=0垂直的直线系方程是4x－3y＋m=0(其中m是参数)。直线方程是4x－3y+8=0．　　

解法二：利用"在x轴上截距为-2"这个条件写出直线系，再用"垂直"这个条件确定参数。　　∵此直线过点(-2，0)用点斜式写出直线系y－0=k(x＋2)，即y=k(x＋2)，(斜率k是参数)。　　k1k=-1　所以直线方程为

　例2：求和直线3x＋4y+2=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。　　

解法一：先用"平行"这个条件写出直线系方程，再用"面积"这个条件确定参数。与直线3x+4y＋2=0平行的直线系方程是3x＋4y+m=0,令x=0,得y轴的载距 , 令y=0,得x轴的载距,因为直线与坐标轴围面的面积为24，所以|，所以m=所求直线l的方程为3x