诱学·导入

材料 英国天文学家、数学家哈雷从小就爱好数学和天文.哈雷对天文学的最大贡献是对彗星的研究.他在观测了大彗星之后，又对24颗彗星的轨道进行了计算，他注意到1456年、1531年、1607年及1682年彗星运行轨道的相似性.他用不完全归纳法得出了下面一个特性.即1531年-1456年=75年，1607年-1531年=76年，1682年-1607年=75年.这表明，这三次彗星出现的间隔时间几乎相同，于是哈雷猜想，过去天文学家认为这三颗不同的彗星也许是同一颗彗星.就是说，它可能先后三次经过那里.它以76年为周期绕日运转.哈雷预言这颗彗星再次出现的时刻终于到 ，1759年3月13日，这颗明亮的彗星，拖着长长的尾巴果然出现在天空之中.大家为了纪念哈雷的预言，称这颗彗星为"哈雷彗星"，哈雷受到全世界人们的尊敬.

问题 曾有些胆小的人（包括某些天文学家）认为哈雷彗星必将与地球相撞，地球的末日将到 ，有个别人甚至胆小到为避免见到惨剧，事先自杀了.地球真的会与哈雷彗星相撞吗？

导入 数学归纳法看似极平常，蕴含的递推的思想却如奔腾河水一样扫荡整个自然数集.人类有了数学归纳法，便第一次拥有了征服无限的能力，这难道不是一种伟大的进步吗？在我们高中数学中，数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，以数列为背景的不等式证明题，因是与自然数n相关的命题，我们很容易联想到用数学归纳法证明.

温故·知新

用数学归纳法证明不等式与已学的哪些知识和方法是息息相关的？

答 我们在前面学习证明不等式时，已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法 证明不等式，还没接触过数学归纳法.但是在数列和函数中，有大量的关于自然数的不等式，如何证明它们呢？这就是我们学习本节的目的所在.

基础·巩固

1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证（ ）

A..n=1 B..n=2 C..n=3 D..n=4

思路分析 由题意知n≥3，∴应验证n=3.

答案 C

2.用数学归纳法证明1+1)时，第一步即证明不等式__________成立.

思路分析 因为n＞1，所以第一步n=2.

答案 1++<2

3.用数学归纳法证明(1+)(1+))(1+)...(1+)>( >1)，则当n= +1时，左端应乘上__________，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_________.

思路分析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+)，最后一个是(1+)，共有2 -2 -1=2 -1项.