课堂探究

探究一 与数量积有关命题的判断

　　两向量方向相同时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为 (或90°)，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来，若两向量的夹角为0或π，则两向量共线．

　　【例1】 已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确命题的个数为(　　)

　　①|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b；

　　②a，b反向⇔a·b＝－|a|·|b|；

　　③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；

　　④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|．

　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

　　解析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．①中因为a·b＝|a|·|b|·cos θ，所以由|a·b|＝|a|·|b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②中若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a|·|b|cos π＝－|a|·|b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③中当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|．反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题③是真命题；④中当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|．故命题④是假命题．

　　答案：C

探究二 求向量的正射影或数量积

　　向量的数量积和正射影都是一个实数，它可正、可负，也可为零，其符号取决于两向量之间的夹角．因此在正确理解正射影及数量积定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键，确定两个向量的夹角时，一定要注意"共起点"这一前提条件．

　　【例2】 如图所示，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：

　　(1)·；(2)·；(3)·；(4)在方向上的正射影．

　　解：(1)因为∥，且方向相同，

所以与的夹角是0°，