三反证法与放缩法

　　1．反证法

　　(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．

　　(2)反证法证明不等式的一般步骤：

　　①假设命题不成立；

　　②依据假设推理论证；

　　③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．

　　2．放缩法

　　(1)放缩法证明的定义：

　　证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．

　　(2)放缩法的理论依据有：

　　①不等式的传递性；

　　②等量加不等量为不等量；

　　③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．

利用反证法证明问题 　　[例1]　已知f(x)＝x2＋px＋q.

　　求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；

　　(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.

　　[思路点拨]　"至少有一个"的反面是"一个也没有"．

　　[证明]　(1)f(1)＋f(3)－2f(2)

　　＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.

　　(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，

　　则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.

而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，