典题精讲

例1 ABCD是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证：AF=AE.

思路分析：建立适当的坐标系,根据坐标运算求出,的坐标,进而证明AF=AE.

证明：如图2-5-1,建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A(-1,1),B(0,1).设E(x,y),则

图2-5-1

=(x,y-1),=(1,-1).

∵∥,

∴x·（-1）-1·（y-1）=0.

∴x+y-1=0.

又∵||=||,∴x2+y2-2=0.

由x2+y2-2=0

即E().

设F(m,1)，由=(m,1)和=()共线,得m-=0.

解得m=-2-.∴F(-2-,1),=(-1-,0),=(),

∴||==1+=||,

∴AF=AE.

绿色通道：把几何问题放入适当的坐标系中就赋予了有关点及向量的坐标,从而进行相关运算,使问题得到解决.

变式训练 已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于F,求.

思路分析：由已知条件可求出、的坐标,然后再由中点坐标公式进一步求出,