§2 二倍角的正弦、余弦和正切

课前导引

问题导入

【问题1】 三角函数式的化简应注意哪些问题?

思路分析:三角函数式的化简是三角变换的一个重要方面.其基本思想是统一角、统一三角函数名称.在具体实施过程中，应着重抓"角"的统一.通过观察角、函数名称、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等方法将其化简.最后结果要求为：①能求值尽量求值；②三角函数的名称尽量少；③项数尽量少；④次数尽量低；⑤分母、根号下尽量不含三角函数.如应化为2，应化为tanα，2sin2α应化为1-cos2α，sinαcosα应化为sin2α,应化为|sinα-cosα|等.

【问题2】 你能将sinα、cosα、tanα都用tan的形式表示吗?

思路分析：利用二倍角公式及同角三角函数之间的关系可有如下推导：

sinα=2sincos=;

cosα=cos2-sin2=;

tanα=.

∴sinα=;cosα=;

tanα=.

这三个公式把sinα、cosα、tanα都表示成了tan的有理形式，实现了三角问题向代数问题的转化，在解决某些问题时起着很重要的作用.

知识预览

1.二倍角公式的推导

在公式(Sα+β)、(Cα+β)、(Tα+β)中，当α=β时，得到相应的一组公式：

sin2α=2sinαcosα;(S2α)

cos2α=cos2α-sin2α;(C2α)