定积分在几何中的应用

【学情分析】：

　　在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。

【教学目标】：

　　（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题

　　（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解

　　（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．

【教学重点】：

　　（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。

（2） 数形结合的思想方法

【教学难点】：

利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图 一、

例题1 （1）师：我们已经看到，定积分可以用来计算曲边梯形的面积，事实上，利用定积分还可以求比较复杂的平面图形的面积。

（2）例题1 计算由曲线所围图形的面积S。

生：思考，讨论

师（引导，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，画图并确定图形大致形状、范围，借助几何直观，将所求平面图形面积看成位于x轴上方的两个曲边梯形面积之差；

师：第二步，确定积分上、下限，即通过解方程组求出交点的横坐标，进而确定被积函数和积分上、下限(本例中需将曲线的解析式进行变形，得到，由于所围图形在x轴上方，因此取)；

解方程组得交点的横坐标为及。

师：第三步，写出平面图形面积的定积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积

因此，所求图形的面积为

师：我们解决这样问题的一般解题方法和步骤是？

生（总结）：

①一般先画出它的草图．

②借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．

③利用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积．

师：我们把这个题目提升为一般类型：即求两条曲线所夹面积：

若函数和在区间上连续且在上有,那么由y＝f (x)，y＝g（x）,x=a,x=b所围成的有界区域面积为

＝－

－

＝

我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线与的均在x轴上方，但是，由1.6的学习我们可以知道，曲线或在x轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。

师：更一般的，若函数和在区间上连续,那么由y＝f (x)，y＝g（x）,x=a,x=b所围成的有界区域面积为。但是仍然去绝对值后转化为分出和的大小解决。

引入课题

板书解题详细步骤，规范学生的解题格式。

结合例题，对解题步骤进行归纳总结，使学生明确利用定积分求平面图形面积的基本步骤。

简单的证明可以留给学生作为课外联系。