3．2.2 & 3.2.3　复数的乘法　复数的除法

复数的乘法 　　

　　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)

　　问题1：如何规定两复数相乘？

　　提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.

　　问题2：根据问题1中的规定复数的乘法运算是否满足交换律？

　　提示：满足．

　　z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，

　　z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.

　　故z1z2＝z2z1.

　　1．复数的乘法

　　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

　　2．复数乘法的运算律

　　(1)对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 　　

　　(2)对复数z，z1，z2和自然数m，n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝zz.

　　3．共轭复数的性质

　　设z的共轭复数为，则

　　(1)z·＝|z|2＝||2；

　　(2)＝()2；

(3)＝·.