1.空间向量的有关概念
名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a=b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为-a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式:p=xa+yb,其中x,y∈R,a,b为不共线向量.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作\s\up6(→(→)=a,\s\up6(→(→)=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b=λ(a·b);
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).