利用导数求函数的最值

课程目标

知识点 考试要求 具体要求 考察频率 利用导数求函数的最值 C 会求闭区间上函数的最大与最小值(其中多项式函数不超过三次). 常考 知识提要

利用导数求函数的最值

一般地，求函数 y=f(x) 在 [a,b] 上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求函数 y=f(x) 在 (a,b) 内的极值；（2）将函数 y=f(x) 在各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b) 比较，其中最大一个是最大值，最小的一个是最小值．

精选例题

利用导数求函数的最值

1. 函数 f(x)=4x/(x^2+1)，x∈[-2,2] 的最大值是 ．

【答案】 2

【解】 令 fʹ(x)=(4-4x^2)/(x^2+1)^2 =0，得 x=±1，当 x=1 时，f(1)=2，当 x=-1 时，f(-1)=-2．

又 f(-2)=-8/5，f(2)=8/5，故 f(x) 在 [-2,2] 上的最大值为 2．

2. 若不等式 ∣ax^3-lnx∣⩾1 对任意 x∈(0,1] 都成立，则实数 a 的取值范围是

【答案】 a⩾( e^2)/3

【分析】 显然 x=1 时，有 ∣a∣⩾1，a⩽-1，or，a⩾1．

令 g(x)=ax^3-lnx，gʹ(x)=3ax^2-1/x=(3ax^3-1)/x