二用数学归纳法证明不等式举例

　　1．利用数学归纳法证明不等式

　　在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．

　　2．归纳-猜想-证明的思想方法

　　数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在"归纳-猜想-证明"这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成"观察-归纳-猜想-证明"的思想方法．

利用数学归纳法证明不等式 　　[例1]　证明不等式1＋＋＋...＋＜2(n∈N＋)．

　　[思路点拨]　

　　―→―→

　　[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．

　　(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时不等式成立，

　　即1＋＋＋...＋＜2，

　　则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋...＋＋＜2＋＝，

　　现在只需证明＜2成立，

　　即证2＜2k＋1成立，

　　两边平方并整理，得0＜1，显然成立，

所以＜2成立．