典题精讲

例1 已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.

思路分析：因为向量包含长度和方向，所以在比较和向量长度的大小时，要考虑其方向.

解：(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|；

(2)当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|；

(3)当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|；

(4)当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|<|a|+|b|.

绿色通道：解答本题可利用向量加法的三角形法则，作出草图辅助解答.关键是准确、恰当地进行分类处理.

变式训练

已知向量a、b，讨论|a-b|、|a|+|b|和||a|-|b||的大小.

思路解析：(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a-b|=|a|+|b|=||a|-|b||；

(2)当a、b为非零向量，且a、b不共线时，有|a|+|b|>|a-b|>||a|-|b||；(三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边的向量表示)

当a、b为非零向量，且a、b同向共线时,|a|+|b|>|a+b|=||a|-|b||,

当a，b为非零向量，且a，b异向共线时，|a|+|b|=|a+b|>||a|-|b||,

所以|a|+|b|≥|a-b|≥||a|-|b||.

例2 化简下列各式：

(1)；(2)［(4a-3b)+b-(6a-7b)］.

思路分析：对于(1)，可以利用三角形法则对向量进行分解；对于(2),利用向量线性运算的运算法则化简.

解：(1)

=0+2=2；

(2)［(4a-3b)+b-(6a-7b)］=(4a-3b+b-a+b)

=［(4-)a+(-3++)b］=(a-b)=a-b.

绿色通道：向量加法的三角形法则可以推广为多边形法则，另一方面可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示，使用向量的数乘的结合律与分配律可以化简向量式子.

变式训练

设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果向量b1、b2、b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1,2,3，则( )

A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0

C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0

思路解析：如图2-2-8所示,