奇偶性与单调性(一)

　　函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

　　●难点磁场

　　(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.

　　●案例探究

　　［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0

　　(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.

　　命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.

　　知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.

　　错解分析：本题对思维能力要求较高，如果"赋值"不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.

　　技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.

　　证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.

　　(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.

　　令0

　　∵00,1－x1x2>0，∴>0,

　　又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0

　　∴x2－x1<1－x2x1,

　　∴0<<1,由题意知f()<0，

　　即f(x2)

　　∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.

　　∴f(x)在(－1，1)上为减函数.

［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)